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Calculando distancias CON DOS HOJAS DE PAPEL !! (abusivo, vergonzoso, impresionante)

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Dario Ruarte

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Superviviente Autosuficiente
Superviviente Autosuficiente
Sé que el título es un poco apabullante pero, si uno no usa el marketing para promocionar un tema... cómo lo hace ? Very Happy 

De todos modos van a ver que esto es muy bonito y, al mismo tiempo, es un modo de introducir un tema de cierta complejidad.

Empecemos.

Sabían Uds. que si conocen el tamaño de dos lados de un triángulo y el ángulo que los conecta pueden saber el tamaño del lado restante y los otros dos ángulos ?

Pero -y esto es mucho más usado-, sabían que si les dan el tamaño de UN lado de un triángulo y los DOS ángulos adyacentes al mismo, pueden averiguar el tamaño de los dos lados restantes ? -y el ángulo que les falta obviamente- 

Esto se debe a ciertas propiedades fantásticas que tienen los triángulos y los círculos y que, cuando los griegos los descubrieron quedaron fascinados porque pensaron que, entre los círculos y los triángulos se escondía el "lenguaje de Dios"... y quizás no estaban errados.

De todos modos, estas propiedades fantásticas nos son muy útiles porque, conociendo unos pocos datos podemos hacer cosas tan maravillosas como calcular la DISTANCIA que nos separa a cualquier objeto o su ALTURA o su AREA y, llegado el caso y con algunas mediciones adicionales hasta su MASA total (y, por qué no, su PESO).

Y todo esto lo podemos hacer con UNA BRUJULA !! (y caminando un poco y con algunos pocos conocimientos adicionales).

Para entusiasmarlos un poco y que luego me acompañen en este tema, voy a enseñarles ahora el más sencillo de los cálculos de distancia... es TAN SENCILLO que... ni brújula voy a usar !! Very Happy 

Tan sólo usaré DOS hojas de papel (lo pude hacer con una) y una lapicera.

Con este truco pueden conseguir ser el centro de la fiesta (dónde ? Very Happy ) y las chicas -o los muchachos según su preferencia y sexo- caerán rendidos a sus pies !

Prepárense para la aventura.


sigue en el post siguiente...



Última edición por Dario Ruarte el Lun 19 Ago - 22:39, editado 1 vez

Dario Ruarte

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Superviviente Autosuficiente
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Vamos a suponer que habías salido al campo de paseo pero, una banda de facinerosos os han tomado prisioneros, como es habitual en estos secuestros las demandas de los captores son salvajes y totalmente desproporcionadas. Tus secuestradores os dicen:

- Sólo liberaremos a tu mujer y tus hijos si nos dices qué distancia hay desde las rejas de tu prisión hasta el árbol que está al frente. Te avisamos que no puedes saltar la reja para medir la distancia. Deberás calcularla por tu cuenta y el resultado debe ser EXACTO.

Tú miras hacia la reja y el panorama que observas es éste:



Vaya!, como has hecho el curso de Navegación Terrestre en el Foro SABES cómo se calcula una distancia con una brújula y tu tabla de senos. Le pides a los captores que te dejen usar tus herramientas habituales pero su respuesta -cruel e inhumana- es:

- No!, nada de brújulas ni tablas de senos y cosenos... sólo podrás usar lo que hay en la mesa... y tienes DIEZ MINUTOS para resolverlo o mueren.

Dios!, qué hacer!... habrá que apelar a alguna trampa y mucho ingenio.

Por fortuna los griegos trabajaron a fondo este tema y habían descubierto varias cosas. Vamos a recordar una de ellas que nos sacará de este entuerto.


La suma de los ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO SUMAN 180 GRADOS !!

Vaya!, con este dato y un poco de ingenio, podremos liberarnos de estos malvados. Si me dejaran usar la brújula y la tabla de senos podría medir los ángulos y calcular el resultado pero, estos salvajes no dejan que pueda acudir a ella. Tendrá que ser "a lápiz y papel".

Como sólo nos dejan el recurso de "hacer trampa" usaremos el viejo truco de los ángulos rectángulos isósceles (jua, los matamos con esto, ni se la esperaban Very Happy ).

En qué consiste este truco ?

Sencillo... dado que los ángulos interiores de un triángulo no pueden medir más de 180 grados y que, si conozco UN LADO y DOS ANGULOS ADYACENTES puedo determinar todos los otros datos, lo que haré será usar una figura donde muchos de estos datos sean sencillos de determinar y, en el triángulo RECTANGULO ya sé que uno de los ángulos mide 90 grados (lógico, por eso se llama "rectángulo")

Si ese ángulo es RECTO (90 grados) y logro desplazarme hasta dar con un ángulo de 45 grados, el otro angulo faltante TAMBIEN SERA de 45 grados !!

90 + 45 + 45 = 180 grados !!

EDITO Y AGREGO =

En el dibujo el ángulo de 90 grados es el "C" y los de 45 grados serán los "A" y "B".

Ya los tengo en la bolsa !, ahora tendré que fabricar mi instrumento de medición.

Me voy a la mesa y tomo una hoja de papel... la convierto en un cuadrado (si no es cuadrada se puede convertir en un cuadrado doblándola del modo que les explicaré luego) y, con el cuadrado en la mano, marco los ángulos que me permitirán hacer la trampa con la que calcularé la distancia exacta.

Para determinar un ángulo de 45 grados sólo tengo que doblar la hoja cuadrada por la mitad y, la bisectriz o diagonal que habré obtenido, estará marcando 45 grados exactos.

Digamos que me quedará esto:


Estos secuestradores están liquidados !

Para asegurarme una medición EXACTA, construiré con otra hoja de papel un pequeño visor o mira o telescopio que me permitirá apuntar correctamente al objetivo.

NOTA = Hice el visor muy grande para poder sacar fotos desde "adentro" del mismo, pudo ser más ajustado.


Ya está todo listo!, los vamos a pulverizar.

Estas son nuestras herramientas y ahora nos iremos a sacar la distancia.



Última edición por Dario Ruarte el Miér 21 Ago - 1:11, editado 1 vez

Dario Ruarte

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Superviviente Autosuficiente
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Desde la verja, el árbol cuya distancia tenemos que calcular para rescatar a nuestra pobre familia se ve de este modo (observen para que luego diferencien las vistas que, visto desde el frente, se observa un poste frente al árbol).


Nos preparamos para tomar la primera lectura, la que nos asegure que estamos haciendo un ángulo de 90 grados.




Comprobemos si el árbol está alineado utilizando nuestra mira o visor (foto interior con la cámara y se observa el poste frente al árbol).



Muajajaja... pan comido !

Vamos a contar la distancia que hay hasta la siguiente medición (de 45 grados) ya que, cuando lleguemos a ella conociendo esa distancia, sabremos la distancia exacta al árbol.

En este caso, como los pobres secuestradores son unos ignorantes, nos han regalado la misma reja con la que nos tienen aprisionados, para darnos una LINEA RECTA sobre la que nos desplazaremos contando y efectuando las mediciones siguientes hasta dar exactamente con la de 45 grados que buscamos. Más sencillo no podía ser !

Dario Ruarte

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Superviviente Autosuficiente
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A medida que nos vamos desplazando por la reja y contando la distancia, vamos tomando mediciones -lecturas angulares- del árbol porque, como no nos dejaron usar brújula (en cuyo caso CUALQUIER ángulo nos hubiera dado lo mismo para este ejercicio), hemos tenido que "hacer trampa" y usar ángulos con propiedades conocidas (un rectángulo isósceles con un ángulo de 90 y dos ángulos de 45 grados donde, ambos catetos tendrán la misma longitud).


Finalmente hemos llegado al punto donde la visión del árbol se ajusta a nuestro ángulo buscado de 45 grados !


Ya tenemos la alineación !! (vista real del objetivo en el ángulo de 45 grados):


En ese punto nos giramos hacia nuestros captores y les decimos:

- Malditas bestias, el árbol está a 8,50 mts de distancia de la reja !

Su rostro denota sorpresa y la primera reacción es de incredulidad y sorpresa. Se niegan a perder a sus víctimas de un modo tan inesperado.

- Y cómo pretendes saber que esa es la distancia si no has podido medirla ?
- Sencillo, maldito captor iletrado. Los catetos de un ángulo rectángulo isósceles miden lo mismo y, dado que he tomado un ángulo de 90 grados y otro de 45 grados y he medido la distancia de este lado (uno de los catetos), el otro cateto (el lado que me preguntaban) mide lo mismo !

EDITO Y AGREGO

Lean esta versión de la respuesta que puede ser más sencilla de entender:

- Sencillo, maldito captor iletrado. Los dos lados cortos de un ángulo rectángulo isósceles miden lo mismo y, dado que he tomado un ángulo de 90 grados y otro de 45 grados y he medido la distancia de uno de los lados cortos, el otro lado corto será igual !

(a veces hablar de catetos o hipotenusas en vez de lados cortos y largos se hace más complicado, se puede decir de este otro modo, tranquis Rolling Eyes )


Para hacerlo más claro aún:



El árbol estaba en "B".
Yo estaba en "C" y allí hice mi primera medición.
La verja -por donde caminé y medí- es la "b".
El punto de la segunda medición es el "A".


Tanto "b" (lo que medí caminando) como "a" (el lado que tenía que averiguar) son IGUALES por la sencilla razón de que un triángulo rectángulo isosceles tendrá dos lados iguales y dos ángulos iguales

===

Su rostro es una pintura, no lo puede creer. Tratando de no dar el brazo a torcer, lanza un último desafío:

- Entonces dime también cuánto mide la hipotenusa.
- No maldita rata... porque eso, no lo preguntaste antes.

Vencido y derrotado, cumple su parte del trato y nos libera.

Al momento de irnos, con sorna y ya desde el vehículo en marcha, les dirás para gozarlos:

- Quieres que te diga algo ?, por el Teorema de Pitágoras hubieras sabido tú mismo que si los catetos medían 8,50 metros la hipotenusa medía 12 metros... vuelve a la escuela y estudia !

Una lágrima de dolor se deslizaría por su rostro y observaría con furia y pena que el crimen nunca paga !  Very Happy

Notas:

No digo que lo estudien -no lo necesitarán con las técnicas que voy a enseñarles para calcular distancias con una brújula más adelante- pero, si quieren recordar estos maravillosos conocimientos pueden repasar el Teorema de Pitágoras en:


Y, por qué no, en:


Ahora que he recuperado mi libertad, me voy a tomar un café.

Espero que hayan disfrutado de este truco.



Última edición por Dario Ruarte el Miér 21 Ago - 1:16, editado 3 veces

Dario Ruarte

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Superviviente Autosuficiente
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Como detalles prácticos y finales quiero decir lo siguiente:

1) Si usan para la medición un ángulo de 90 grados y otro de 45 grados estarán usando un "truco" porque, el lado que MIDAN será igual que el lado de la primera lectura (el que quieren averiguar).

Es obvio que si tienen que medir algo que está a 20 o 30 metros, caminar otros tanto no es problema... pero no se les ocurra usar esta técnica para medir algo que está a 100 metros porque, se les hará difícil. Very Happy

Para medir cosas más distantes se usa la brújula y una sencilla fórmula (que pueden aplicar sin tener idea de trigonometría, ni del Teorema de Pitágoras ni NADA).

De todos modos el principio que se usa es EL MISMO, salvo que, para no tener que caminar kilómetros y kilómetros, se usa cualquier medición relevante de ángulos y una distancia apropiada para el "lado conocido". Lo veremos más adelante.

===

2) Supe decirles que si tiene la cuerda marcada con medidas, este proceso de calcular distancias ganará mucho en EXACTITUD ya que no dependerán de "contar los pasos", sino que podrán tomar medidas bastante exactas con la cuerda marcada a dichos efectos.

Esto lo sugerí en:

http://supervivenciaextrema.faunaboard.com/t4887-marquen-medidas-en-su-cordin-o-cuerda-las-pueden-necesitar

===

3) Finalmente hacerles notar que como usamos un caso muy especial de la geometría, fue posible su resolución sólo con dos hojas de papel. Nos aprovechamos del hecho de que, si un ángulo es de 90 grados y el otro es de 45 grados, el que falta FORZOSAMENTE es de 45 grados y, por lo tanto, los catetos son IGUALES. Uno lo medimos caminando (o con la cuerda) y, el que queremos averiguar medirá lo mismo:


Hay otro caso especial pero, lo voy a dejar como desafío.

Cómo harían para medir la distancia con un TRIANGULO EQUILATERO ? (los tres lados iguales).

Eh ?  Very Happy

(es muy sencillo también y nos permite medir distancias bastante más largas ya que caminamos menos).

Se resuelve con dos hojas de papel como en este caso.  Wink

Dario Ruarte

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Superviviente Autosuficiente
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Otra Nota:

Cuando me voy en el auto le digo al captor el valor de la hipotenusa (la distancia más larga, la de la segunda lectura -cuando medía 45 grados-). Esto es sencillo de calcular sabiendo el Teorema de Pitágoras porque, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (uy qué miedo!).

Parece difícil -y, ni les digo que lo aprendan- pero, despejando la fórmula tenemos que la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada del cuadrado de los catetos.


Esto se hace con una simple calculadora (que incluya la función de raíz cuadrada) porque, sabiendo que tengo dos lados iguales y que valen 8.5 metros, el cálculo era:

hipotenusa = raíz cuadrada (cateto al cuadrado + cateto al cuadrado)

O, con números:

hipotenusa = raíz cuadrada ( (8.5 x 8.5) + (8.5 x 8.5) )

hipotenusa = raíz cuadrada ( 72.25 + 72.25)

hipotenusa = raíz cuadrada ( 144.5)

hipotenusa = 12,02 mts

===

Ni se asusten, ni se vuelvan locos. Lo he puesto para que no crean que la medida de los 12 mts salió de la luna. Cualquiera con una calculadora en la mano lo sacaba sabiendo la fórmula.

Wink

Dario Ruarte

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Superviviente Autosuficiente
Superviviente Autosuficiente
NOTA FINAL:

Agradezco a mis amigos al final del asado que me dejaron hacer todo este circo sin pensar que estaba loco y aceptando la explicación de que tenía que sacar las fotos para "presentar el tema en un foro"... todavía se están riendo los desgraciados ! Very Happy 

Mi querida novia y compañera no dijo nada porque ya está acostumbrada a estos delirios. Wink

SELVATICO

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Superviviente Extremo
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Siempre fui duro para matemática  trigonométricas y esas cosas jajaja, asi como la foto me dejaste mas o menos, se entendio todo lo que explicaste, esta perfecto, pero lleva un tiempo asimilarlo jajaja





http://"SI NO VOLVEMOS, NO DESEO QUE ORGANICEN PARTIDAS DE

SELVATICO

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Superviviente Extremo
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http://"SI NO VOLVEMOS, NO DESEO QUE ORGANICEN PARTIDAS DE

Dario Ruarte

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Superviviente Autosuficiente
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Entonces cuando enseñe el método "Ruarte" para determinar distancias con brújula te va a encantar porque SE HACE CON UN CUENTO !! (hay dos mediciones con brújula, una de distancia y dos multiplicaciones).

Te vas a caer de espaldas, prometido !  Wink

No te asustes por los "nombres raros" porque no son relevantes. He hablado de catetos e hipotenusa por respeto a los que si saben pero, con decir "los lados cortos e iguales" y "el lado largo", nos entendemos todos.

Lupin81

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Superviviente Extremo
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Jajaj, coincido con Selvatico, jamas fui un as en matemáticas, digamos que el principio lo entendí........pero este es de esos post que lo voy a tener que leer y releer varias veces! E incluso practicarlo con las dos hojas, así hago las pruebas de campo correspondientes, ya que lo quiero tener bien comprendido. La verdad que es muy interesante! Y es mucho mas entretenido con la historia de la familia que se va burlándose de sus captores:P ! Jajaj muy ingenioso!
Salute!

Dario Ruarte

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Superviviente Autosuficiente
Superviviente Autosuficiente
Mmhhh... No 

Creo que los estoy complicando de vicio al tratar de "explicar" el POR QUE de las cosas.

Bien es cierto que, si quieren aprender a calcular DISTANCIAS con una brújula (y, llegado el caso AREAS o VOLUMENES o PESOS o ALTURAS) tienen que entender POR QUE se puede hacer y COMO se hace. No es mágico, es puramente geométrico.

Además, si bien voy a dar un sistema (Método "Ruarte") donde hasta un mono siguiendo ocho o nueve pasos y sin saber POR QUE lo hace, puede calcular correctamente distancias, también quiero que tengan la información completa para APRENDER y hacer lo que quieran con ese conocimiento.

El asunto es sencillo... en un triángulo rectángulo hay ciertas características "regaladas" que luego no necesitan ser calculadas. Por eso es sencillo usar un rectángulo isósceles o un equilátero para calcular distancias SIN NADA MAS que dos hojas de papel y contando una distancia.

Pero, si entienden esto, luego podrán aprender a calcular las distancias usando CUALQUIER TRIANGULO (recuerden que las distancias se calculan "triangulando", esto es, "dibujando un triángulo" sobre el terreno y midiendo algunas cosas que están a nuestro alcance para averiguar otras que NO están a  nuestro alcance).

Que la suma de los ángulos interiores de un triángulo SIEMPRE suman 180 grados, es una cosa que hay que saber (pero no es difícil, caramba !)  Very Happy

Que si conozco DOS ANGULOS y UNO de los lados, o bien DOS LADOS con el ángulo comprendido puedo averiguar -mediante cálculos- todos los otros datos que faltan, es un tema más complejo y, no lo he tocado más allá de lo imprescindible.

Acá lo cosa era muy sencilla... la distancia al árbol (uno de los lados) iba a ser igual al otro lado -el que yo podía CONTAR, MEDIR, CAMINAR- si conseguía hacer un ángulo de 45 grados.

No podía usar la brújula pero, doblando un papel por la mitad, consigo un ángulo de 45 grados !! (por eso lo puedo hacer con una hoja de papel y no necesito un teodolito o una brújula para medir los ángulos).

Con una brújula o con un teodolito voy a poder medir ángulos de 35, 47, 22 o 99 grados... con un papel SOLO PUEDO medir ángulos de 90, 45 grados (y, con algunos trucos otros pocos más) pero, aún así, puedo "dibujar" un triángulo conocido -rectángulo en este caso- y, gracias a sus propiedades, conocer las DISTANCIAS.

Si entienden lo SIMPLE, luego entenderán lo COMPLEJO.

Aunque, insisto, el "Método Ruarte" está automatizado y podrán calcular distancias AUNQUE NO SEPAN QUE CARAJO ESTAN HACIENDO, NI QUE PRINCIPIOS DE LA TRIGONOMETRIA UTILIZAN. Simplemente harán 8 o 9 cosas muy sencillas y... SABRAN LA DISTANCIA !

Lupin81

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Superviviente Extremo
Superviviente Extremo
Dario, ya lo comprendo bien, solo que me quedo una duda: 
La distancia que vos calculaste, mientras recorrías la reja hasta que llegas al punto en donde volves a ver el árbol por el tubo de papel, es decir cuando llegaste al punto donde tenes los 45º del triangulo, ahí a vos te dio 8,5 metros, y por ende la distancia hasta el árbol es de 8,5 metros, y la pregunta es: esos 8,5 metros los mediste por medio de los pasos mientras recorrías paralelamente la reja??? O de que manera llegaste a ese numero? Digamos que el sistema me quedo clarisimo, pero me quedo la duda de como mediste esa distancia, ya sea exacta o aproximada, espero haberme explicado bien con mi duda!
Gracias y saludos!

Dario Ruarte

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Superviviente Autosuficiente
Superviviente Autosuficiente
En mi caso la medí por pasos y "a ojo". El sentido del trabajo era sacar las fotos más que medir "exactamente" la distancia.

De todos modos haz tu propia prueba en el patio, plazo o campo y verás que el resultado es correcto.

Cualquier queja a Pitágoras ! Very Happy

Lupin81

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Superviviente Extremo
Superviviente Extremo
Jajaja, noo ninguna queja, todo lo contrario! Excelente! Entonces significa que me quedo perfectamente claro, y que había imaginado bien, que la cuenta era con los pasos! Y el método esta muuuy bueno! Ya mismo lo estoy apuntando! Me voy a armar un buen cuaderno de orientación y navegación!
Gracias por quitarme la duda!



Última edición por Lupin81 el Miér 21 Ago - 1:19, editado 1 vez

Dario Ruarte

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Superviviente Autosuficiente
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Te digo qué te puede haber confundido -y la verdad es que no me di cuenta-.

Por convención los triángulos rectángulos suelen dibujarse AL REVES de cómo yo hice mi medida. Luego en el foro he puesto tres veces dibujos de triángulos rectángulos y todos son los "convencionales" pero resulta que yo hice la medida "al revés". Con el ángulo recto a la derecha y no a la izquierda como salen los dibujos.

Digamos que mi medición (la que sale en las fotos) tuvo esta forma:


Mi primer foto (frente al árbol) fue en "C".
El camino que medí (por la reja y caminando) fue el "b".
El punto de la segunda medición (a 45 grados) fue el "A".
La distancia que calculé al árbol, es la distancia "a"

Ahora se entiende mejor ?

===

Y, ya que estamos... por ser un triángulo retángulo isosceles (dos lados iguales y dos ángulos de 45 grados) los lados "a" y "b" son IGUALES.

Estos lados -más cortos- se llaman CATETOS.

El lado más largo ("c") se llama HIPOTENUSA.


Ahora voy a cambiar alguna de las figuras por ésta, para facilitar la comprensión visual del tema. A veces me olvido que, hasta que uno no se mete de nuevo en este tema, dejó los triángulos muy atrás en su vida Very Happy .

Lupin81

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Superviviente Extremo
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Perfecto Dario! En realidad me terminaste de clarar cualquier duda al respecto, era lo que yo entendí exactamente! y el método esta buenísimo! lo practique y funciona muy bien! Ahora me gustaría probarlo en un lugar mas apropiado, que en donde lo hice. 
Una consulta: aproximadamente hasta que distancia seria efectivo este metodo??

Dario Ruarte

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Superviviente Autosuficiente
Superviviente Autosuficiente
Lupin:

Ten presente que la distancia que quieres averiguar será igual a la que camines y midas hasta llegar al ángulo de 45 grados.
Se me ocurre que podrás caminar 20 o 30 metros antes que te resulte incómodo. No da para mucho más.

El tema no es que este método resulte muy útil (salvo para medir algo del otro lado de un río o cosa similar) sino que "abre la cabeza" para entender cómo se miden las distancias en base a la trigonometría cosa que se hace con brújula y tablas de senos (ya puse el tema) y permite medir distancias mucho mayores (normalmente hasta 10 kms que es lo que alcanza la vista en el horizonte).

Usando los ángulos y senos y las brújula no tienes que caminar mucho midiendo un camino aunque las distancias que estés midiendo sean muy importantes.

IVANHOO78

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Superviviente Extremo
Superviviente Extremo
Dios!!! Darío me lo he leído todo, se a entendido pero seguro que no seré el centro de atención de una fiesta ....mejor para atraer chicas me machaco en el.gym, será más fácil jejeje, pero muchísimas gracias por el tuto.

Dario Ruarte

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Superviviente Autosuficiente
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Claro, a ver si vas a una fiesta en la Facu de Agrimensura o Ingeniería Civil... ni te imaginás el bombazo que es sacar una brújula de paso Brunton y ponerse a calcular ángulos en la fiesta... bombazo !  Very Happy Very Happy


PD = Seguí en el gimnasio nomás !!

Moulobos


Superviviente Iniciado
Superviviente Iniciado
Excelente aporte!! Muy, pero muy didáctico y divertido me quedo muy claro este ejemplo. Ya me pongo a buscar el post con el Método Ruarte. Mi intención era buscar información sobre como usar la brújula para orientación y creo haber encontrado el "rumbo" jajaj Seguramente van a surgir algunas cuantas preguntas, espero que andes por estos lares para poder evacuarlas.
Desde ya muchísimas gracias! Mauro

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